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BZOJ 2330 解题报告

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题意简述

给定\(N\)个变量和\(K\)个式子，形如： \[A = B\] \[A < B\] \[A \geq B\] \[A > B\] \[A \leq B\] 这些变量必须为正整数，求出一组符合所有条件的最小解，如果无解，输出\(-1\)。

时间限制（总）：10s 空间限制：128MB

题目链接

BZOJ 2330

题解

由给定的约束条件可以看出是差分约束系统的典型题，将给定的约束条件进行转化： \[A = B \Leftrightarrow A \leq B 且 B \leq A \Leftrightarrow A + 0 \leq B 且 B + 0 \leq A\] \[A < B \Leftrightarrow A \leq B - 1 \Leftrightarrow A + 1 \leq B\] \[A \geq B \Leftrightarrow B \leq A \Leftrightarrow B + 0 \leq A\] \[A > B \Leftrightarrow A - 1 \geq B \Leftrightarrow B + 1 \leq A\] \[A \leq B \Leftrightarrow A + 0 \leq B\] 对于以上五种约束条件，建图方式为：

  1. 从点\(A\)向点\(B\)连一条权值为\(0\)的边，从点\(B\)向点\(A\)连一条权值为\(0\)的边。
  2. 从点\(A\)向点\(B\)连一条权值为\(1\)的边。
  3. 从点\(B\)向点\(A\)连一条权值为\(0\)的边。
  4. 从点\(B\)向点\(A\)连一条权值为\(1\)的边。
  5. 从点\(A\)向点\(B\)连一条权值为\(0\)的边。

由于题目要求每个变量的最小值，等价于最小化\(x _ i - 0\)，所以跑最长路。需要注意的是题目要求变量为正整数，所以最长路算法中所有点的距离都初始化为\(1\)并直接放入队列。（也可以建虚点并向所有点连一条权值为\(1\)的边然后将虚点的距离值初始化为0，代表\(0 + 1 \leq x _ i\)，即\(x _ i \geq 1\)）。注意判断有负环的情况。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

const int MAXM = 200010;
const int MAXN = 100010;

template<typename T>
T read() {
    T result = 0;int f = 1;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') {if(c == '-') f *= -1;c = getchar();}
    while(c <= '9' && c >= '0') {result = result * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return result * f;
}

struct Graph {
    struct Edge {
        int next,to,weight;
    };
    Edge edges[MAXM];
    int tot,heads[MAXN];

    Graph() : tot(0) {
        memset(heads,-1,sizeof(heads));
    }

    void addEdge(int u,int v,int w) {
        edges[tot].next = heads[u];
        edges[tot].to = v;
        edges[tot].weight = w;
        heads[u] = tot++;
    }
} graph;

int N,K,dis[MAXN],cnt[MAXN];
bool visit[MAXN];

bool spfa() {
    queue<int> que;
    for(int i = 1;i <= N;i++) {
        dis[i] = 1;
        visit[i] = true;
        que.push(i);
    }
    while(!que.empty()) {
        int now = que.front();
        que.pop();
        visit[now] = false;
        for(int i = graph.heads[now];i != -1;i = graph.edges[i].next) {
            Graph::Edge &tmpEdge = graph.edges[i];
            if(dis[tmpEdge.to] >= dis[now] + tmpEdge.weight) continue;
            dis[tmpEdge.to] = dis[now] + tmpEdge.weight;
            if(!visit[tmpEdge.to]) {
                visit[tmpEdge.to] = true;
                que.push(tmpEdge.to);
                cnt[tmpEdge.to]++;
                if(cnt[tmpEdge.to] > N) {
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    N = read<int>(); K = read<int>();
    while(K--) {
        int opt = read<int>(),A = read<int>(),B = read<int>();
        switch(opt) {
            case 1: {
                graph.addEdge(B,A,0);
                graph.addEdge(A,B,0);
                break;
            }
            case 2: {
                graph.addEdge(A,B,1);
                break;
            }
            case 3: {
                graph.addEdge(B,A,0);
                break;
            }
            case 4: {
                graph.addEdge(B,A,1);
                break;
            }
            case 5: {
                graph.addEdge(A,B,0);
                break;
            }
        }
    }
    bool result = spfa();
    if(!result) {
        printf("-1\n");
    }else {
        long long result = 0;
        for(int i = 1;i <= N;i++) {
            result += dis[i];
        }
        printf("%lld\n",result);
    }
    return 0;
}